Doctor en Medicina graduado en España en 1783, a su regreso a Buenos en Aires (1794) asumió como examinador del Protomedicato, la organización de los médicos de la ciudad.

Ocho años después se hizo cargo de la Cátedra de Medicina de la misma institución.

Entre 1794 y 1796 se integró a la lucha contra la viruela. Desde las páginas de El Telégrafo Mercantil aconsejó la vacunación antivariólica y a comienzos del siglo XIX trajo las primeras vacunas contra la viruela desde Gran Bretaña que suministró sin cargo.

Ejerció luego como cirujano durante las invasiones inglesasatendiendo por igual a heridos de ambos bandos. Fue designado Médico Jefe del Hospital de la Caridad.

En la Semana de Mayo, durante el Cabildo Abierto del día 22, votó contra la permanencia del Virrey Cisneros. Dos años después, Argerich, Diego Zavaleta y Luis de Chorroarín elaboraron el “Plan de estudios generales y de educación pública” que no pudo ser llevado a la práctica. La Asamblea del Año XIII aprobó su iniciativa para la creación de la Facultad de Medicina que se transformó en “Instituto Médico Militar” por imperio de las circunstancias.

Ejerció luego como cirujano del Ejército del Norte a ordenes de Manuel Belgrano. Volvió a Buenos Aires en 1816 por razones de salud y proveyó al general San Martín los insumos médicos y sanitarios para las campañas del Ejército de los Andes . Organizó la sanidad del Puerto de Buenos Aires y enseñó Medicina hasta su fallecimiento en febrero de 1820.

La Masonería Argentina recuerda hoy el aniversario del nacimiento de Cosme Argerich, el 26 de septiembre de 1758, integrante de la Logia Independencia después de ser iniciado masón durante las invasiones inglesas. Sus restos descansan en el Cementerio de la Recoleta.