Político, periodista y abogado, cursó sus estudios superiores en la Universidad de Buenos Aires. Nieto de Bartolomé Mitre, trabajó en el diario La Nación del que fue su editor en 1881. Posteriormente fue Juez de lo Civil, Consejero de la Corte de Apelaciones provincial y Procurador General de Buenos Aires.

Autor de Los Hombres de presa (1888), basada en la doctrina del positivismo italiano, se publicó en Italia con prólogo de Lombroso. Sobre esa base participó de la creación de la Sociedad Antropológica Jurídica de Buenos Aires para apoyar las reformas a la legislación penal argentina.

Cuando el Presidente Julio Argentino Roca le ofreció el Ministerio de Relaciones Exteriores, debió intervenir ante el bloqueo y ataque de una flota de veinte buques de Gran Bretaña, Alemania e Italia a las costas venezolanas por la falta de pago de los servicios de la deuda externa. El dictamen del Ministro señaló que “ninguna potencia europea puede obligar a una república americana, por medio de la fuerza, al pago de las deudas públicas contraídas con los estados o los súbditos extranjeros”. Ese texto, conocido desde entonces como “Doctrina Drago”, fue adoptado por el Derecho Internacional.

En 1909, Drago fue designado miembro del Tribunal Arbitral para resolver un conflicto entre Inglaterra y Estados Unidos sobre la pesca en el Atlántico Norte. El cuerpo, compuesto de cinco miembros, se reunió en La Haya en 1910 y su fallo fue aceptado por los dos países. En 1912, Drago fue elegido diputado en tanto renunció a su cargo de Embajador en Estados Unidos por razones de salud.

Falleció en 1921, había nacido el 6 de mayo de 1859.

Fue iniciado masón en la Logia Estrella del Oriente N° 27, el 11 de setiembre de 1879. Poco después participó de la fundación de la Logia Abraham Lincoln N° 66 de Mercedes, provincia de Buenos Aires, de la que fue su Venerable Maestro (Presidente) durante dos períodos. También fue fundador de la Logia La Plata N° 80. Entre 1901 y 1902 se desempeñó como Primer Gran Vigilante de la Gran Logia de la Argentina a la que representó en 1907 durante los actos del sesquicentenario de la Masonería de Holanda.