Fue diplomático y Vicepresidente de la Nación, se graduó de abogado en la Universidad de Buenos Aires después de sus estudios primarios y secundarios en el Colegio de Mayo. En la Facultad de Derecho fue condiscípulo de Aristóbulo del Valle, Carlos Pellegrini y Leandro Alem con quienes compartía la afición por la política. Integró las filas del Partido Autonomista Nacional.

En 1868 fue designado Secretario de la legación argentina en Brasil donde también realizó trabajos masónicos en la Logia 18 de Julio de Río de Janeiro; al año siguiente regresó a Buenos Aires como Subsecretario de Relaciones Exteriores. Negoció la firma de un tratado de paz con Paraguay y en 1871 integró la Comisión para la reforma de la Constitución de la Provincia de Buenos Aires. Posteriormente fue electo diputado provincial.

El Presidente Miguel Juárez Celman lo designó ministro de Relaciones Exteriores. Cumplió una tarea destacada en el Congreso Sudamericano de Derecho Privado Internacional (Montevideo, 1888) subrayando la necesidad de que las naciones del área consolidaran su relación con Europa a través de convenios y pautas claras y concretas. Bregó también en favor de la inmigración y sostuvo que los inmigrantes deberían quedar vinculados al país por la propiedad de la tierra y pudieran adquirir a precios módicos las superficies destinadas a la agricultura. También reclamó a Gran Bretaña la soberanía sobre Malvinas y expresó que la Argentina nunca abandonará sus derechos a esos territorios y que las considerará como parte integrante del dominio de la República Argentina hasta que se haga justicia. También obtuvo la integración de la Puna de Atacama al territorio argentino y definió con Brasil la cuestión de Misiones, irresuelta desde la Colonia. Cuando pasó de la Cancillería al Ministerio del Interior continuó impulsando aquellas ideas; en 1889, el Congreso sancionó la “Ley Quirno Costa”, por la que se subsidiaban pasajes a los inmigrantes.

Volvió a la función pública como Ministro de la representación diplomática argentina en Chile durante el gobierno de Luis Sáenz Peña para solucionar el conflicto de límites. Firmó el tratado del 1° de mayo de 1893 para demarcar la frontera y luego los convenios Matte-Quirno Costa y Guerrero-Quirno Costa en 1896.Después fue Ministro del Interior del Presidente José Evaristo Uriburu y también encabezó la Convención para la revisión de la Constitución (1898).

Fue Vicepresidente durante la segunda gestión de Julio A. Roca (1898-1904). Hombre de conductas austeras, tomaba el tren para ir a su quinta de San Fernando. El 12 de mayo de 1906 asumió como Ministro del Interior en el gabinete de Figueroa Alcorta, pero se trató de un paso fugaz por disidencias políticas.

Enfermó a comienzos de 1915. Un mes antes de morir escribió una larga carta en la que expresó su convicción sobre la grandeza argentina. Falleció en la quinta de San Fernando la noche del 3 de Marzo; sus restos fueron velados en el Salón Blanco de la Casa de Gobierno. Había nacido en Buenos Aires el 18 de Julio de 1844.

Norberto Quirno Costa integró la Logia Constancia N° 7 de la Ciudad de Buenos Aires desde 1878.